$r=1$のとき、

Jacobson の公式により、

$$(\eta+A(t))^p = \eta^p + A(t)^p +\int_{s=0}^1 \operatorname{ad}(s \eta+ A(t))^{p-1} A(t) d s =\eta^p+ A(t)^p -A^{(p-1)}(t)$$

つまり、

$$P_A= A(t)^p - A^{(p-1)}(t).$$

$p$-curvature を計算するのには、 $\mathbb{F}_p$ の代数的閉包 $\bar \mathbb{F}_p$ を考えて、部分分数展開を 利用すると 便利でしょう。

$c\in \bar \mathbb{F}_p$, $e \in \{1,2,\dots, p-1\}$ にたいして、

$$f_{c,e}(t)\overset{\operatorname{def}}{=}\frac{1}{(t-c)^e}$$

とおくと、 $\forall a \in \bar F_p$ にたいして、

$$-(af_{c,e})^{(p-1)}(t)+(a f_{c,e}(t))^p= \begin{cases} \frac... ...f } e>1 \\ \frac{a^p-a}{(t-c)^p} & \text{ if } e=1 \end{cases}$$

ついでに、

$$f_{\infty,e}(t) \overset{\operatorname{def}}{=}{t^e}$$

にたいして、

$$-(a f_{\infty,e})^{(p-1)}(t)+(a f_{\infty,e}(t))^p= a^p t^{ep}$$

$$P_A(t)=0 \iff A(t)=\sum_j \frac{a_j}{... ... a_j\} \subset \mathbb{F}_p , \quad \exists \{c_j\} \subset \bar \mathbb{F}_p)$$

命題 9.1   ほとんどすべての $p$ にたいして、$P_A=0$ となるための必要十分条件は、 $A$ が一位の pole しかもたず、なおかつそれぞれの pole での residue が 有理数であることである。 さらに、このとき、

$$\frac{d}{dt} f(t)=A(t) f(t)$$

は代数的な解

$$f(t)=\prod_i (t-c_i)^{a_i}$$

をもつ。