$p$-curvature

[

l]この節の問題 $[\eta,t]=1$ をみたす $\eta,t$ に対して、

$$A(t)\in M_r(\mathbb{Q}(t))$$

を考える。$A$ の分母の最高次の係数の絶対値よりも大きな素数 $p$ に対して $(\eta+A(t))^p$ (modulo $p$)を計算したい。

$\eta+A(t)$ はconnection と呼ばれます。 $(\eta+A(t))^p=\eta^p +P_A(t)$ ( $\exists P_A(t)\in \mathbb{Q}(t)$) となるので、 実際には $P_A$ を求めるのが問題になります。$P_A$ のことを connection $\eta+A$ の $p$-curvature と呼びます。

$p$-curvature については Grothendieck-Katz 予想と呼ばれる有名な予想があります。 詳しくは wikipedia などをご参照ください。(この稿はこれが多いな。)