$r$:一般,可換な場合

$\{A(t)\}$ が可換な場合、すなわち、

$$[A(t), A(s)]=0 \qquad ($$$t,s$ の有理式として$$)$$

の場合を考えましょう。両辺を微分することにより、 $A(t)$ の微分たちもそれぞれ可換であることがわかります。

この場合の話は、本質的には $r=1$ の話の繰り返しになります。

Jacobson の公式により、

$$(\eta^p+A(t))^p=\eta^p+ A(t)^p -A^{(p-1)}(t)$$

で、$p$-curvature は $P_A=A(t)^p-A^{(p-1)}(t)$ です。 $c\in \bar \mathbb{F}_p$ にたいして、$c$ でのpole の位数を考えると、 $A$ は $c$ で pole を持ったとしてもたかだか 1位であるということがわかります。 さらに、$c$ において

$$A(t)=\frac{A_c}{t-c} +$$($c$ で正則な部分)$$\qquad( A_c\in M_r(\bar \mathbb{F}_p))$$

と書くと、

$$P_A=\frac{A_c^p-A_c}{(t-c)^p} +$$($c$ で正則な部分)

となって、結局 $A_c^p=A_c$ でなければならないことがわかります。 これは $A_c$ の最小多項式が $\lambda^p - \lambda$ の約数でなければ ならないことを意味しますから、$A_c$ の固有値は $\mathbb{F}_p$ の元で、 なおかつ$A_c$ は対角か可能であることがわかります。

$\{A_c\}_c\in {\bar F_p}$ は全て可換ですから、これらを 同時対角化することができます。けっきょく、最初に述べたとおり、 これは $r=1$ の場合の直和と同型であるという結論が出るわけです。