$r$:一般、可換とは限らない場合

一般の場合も、各点 $c\in \bar \mathbb{F}_p$ で考えて得られる結論は変わりません。 ただし詳細はわずかに異なるので、 念のためここに書いてみます。 $c\in \bar \mathbb{F}_p$ にたいして、

$$A(t)=\frac{A_c}{(t-c)^e}+B_c(t)$$

と分解してみます。$B_c(t)$ の部分がなければ話は可換の場合になるので、 $e>1$ なら、

$$(\eta+\frac{A_c}{(t-c)^e})^p-\eta^p = (\frac{A_c}{(t-c)^e})^p$$

「$e=1$」 ならば、

$$(\eta+\frac{A_c}{(t-c)})^p-\eta^p = (\frac{A_c^p-A_c}{(t-c)^p})$$

なのでした。 Jacobson の公式により、

$$(\eta +\frac{A_c}{(t-c)^e} + B_c(t))^p$$

$$= (\eta +\frac{A_c}{(t-c)^e})^p + \int_0^1 \left (\operatorname{ad}(T (\eta+\frac{A_c}{(t-c)^e}) +B_c(t)) \right)^{p-1} B_c(t) d T$$

積分の掛かる項はすべて $e(p-1)$ 位以下のpoleですから、 結局、$P_A=0$ になるためには $e=1$ で、 $A_c^p=A_c$ でなければならないことがわかります。 これは $A_c$ の最小多項式が $\lambda^p - \lambda$ の約数でなければ ならないことを意味しますから、$A_c$ の固有値は $\mathbb{F}_p$ の元で、 なおかつ$A_c$ は対角か可能であることがわかります。 まとめると:

命題 9.2   ほとんどすべての $p$ にたいして、$P_A=0$ となると仮定すると、 $A$ は一位の pole しかもたず、なおかつそれぞれの pole での residue は 有理数である。