微分作用素の層との関係

前小節の最後で、 $\mathcal O(R)$ と $H_R$ との関係が出て来た。 $C^*(A_R)$ は $\mathcal O(R)$ 上の微分作用素のなす層 $\mathcal D_{\mathcal O(R)}$ のグローバルセクションと見倣すこともできる。 (ただし、$*$-構造は今しばらく忘れておく必要がある。) もちろん、 $\mathcal O(R)$ がラインバンドルとして意味をなすためには $R$ は整数でなければならない。しかし $\mathcal D_R =\mathcal D_{\mathcal O(R)}$ を ( $\mathcal O(R)$ への作用を忘れて)単なる環の層として眺めてみると、 実はこれは $R$ が任意の実数でも定義をすることができることが知られている。 ([1] [2]) 一般の実数 $R$ に対して、「$R$-次斉次なregularな関数」は存在しないのだが、 $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ 上で analytic topology について local には $\mathcal O(R)$ の元にあたるものが存在する。 それに対する微分作用素を $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ に おろして来たのが $\mathcal D_R$ だと見ることができる。

このことを考えると、 《 $A_R$ は $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ 上のグローバルなオブジェクトとして は捉えられないが、 $\mathcal D_R$ がその類似物を提供している》 と見ることもできる。次の小節でこの点について少し補足することにしておこう。

(ただし $*$ に関する対称性から見れば この見方が完全に満足のいく見方とは言いがたい。 むしろ、$*$ に対する $A_R$ の対称性は、 $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ 上の特定の加群の層に対して、 双対性(Fourier変換にあたる) を定義していると見ることもできる。)