環 $A_R$ の表現と $\mathcal D_R$-加群との対応

結論から先に述べよう。次の定理が成り立つ。

定理 5.1   $R$ を複素数とし、

$$A={\Bbb C}[x_1,\dots,x_n,\partial_1,\dots,\partial_n], \mu=\sum_i x_i \partial_i-R J=A\mu, A_R=N(J)/J$$

とおく。次のようなカテゴリーを考えよう。

$$\mathcal C_1 =\{ A M \mu_{M_0}=0 \}$$

$$\mathcal C_2 =\{ A_R \}$$

$$\mathcal C_3 =\{ \mathcal O \mathcal D_R \mathbb{P}^n({\Bbb C}) \}$$

このとき、

1. $R$ が整数でなければ、上の三つのカテゴリーは同値である。
2. $R$ が 0 以上の整数ならば、 $C_2$ と $C_3$ とは同値である。

なお、$R$ が 0 以下の整数の時については上の定理は言及していないが、 その時どのようなことが起こっているかは、 以下の解説を見れば大体想像がつくと思う。 さらに必要なら $A_R$ と $A_{n-R}$ との同型を使えば、 もっと詳しく述べることもできる。

さて、定理の証明のためには、次の補題を証明すればいい。

補題 5.1   上の定理と同じ記号を使う。次の等式が成り立つ。

$$\operatorname{Ob}(\mathcal C_2) =\{M_0; M\in \operatorname{Ob}{C_1}\}$$

$$\operatorname{Ob}(\mathcal C_3) =\{M ; M\in \operatorname{Ob}{C_2}\}$$

ただし、graded module $M$ の尻尾とは、$M$ の、「次数の低い部分の差異を 無視した」ものである。要は $M$ (を ${\Bbb C}[X_0,\dots,X_n]$-module と見倣したもの) に対応する ( $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ 上の層の構成でおなじみのものである。)

この補題の後半は、代数幾何学ではおなじみである。前半の証明のキーになるのは、 次の事実である。

(事実1) $A_R$-module $N$ を考えよう。$N$ は $N(J)$-module ともみなせることに注意する。 そこで、 $M=A\otimes_{N(J)} N$ を考えると、 $M$ は graded $A$-module であって、 $M_0\cong N$ および $(\mu-R-i).M_i=0$ をみたす。 (事実2) graded $A$-module $M$ が、ある整数 $i$ にたいして $M_i=0$ をみたす とすれば、 . ゆえに、 $\mu. M_{i+1}=0$ となる。

上の定理の系として、次の事がわかる。

系 5.1   $r\in {\Bbb C}\setminus \{-1,-2,\dots\}$ のとき、 $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ 上の $\mathcal O$- quasi coherent $\mathcal D_R$-module $M$ に $A_R$-module $\Gamma(\mathbb{P}^n({\Bbb C}),M)$ を対応させる函手はカテゴリーの同値を与える。

$R=0$ の時にはこの系は 《 $\mathbb{P}^n({\Bbb C})$ の $\mathcal D$-アファイン性》として知られるものである。 たとえば[3]のChapter I section 6 を参照のこと。

$R$ が一般の時も含めて、この小節の結果よりもっと一般的な結果 (《リー環の表現》と 《旗多様体上のtwisted differential operators の層上の加群》との対応 ) が [1] で述べられている。([4]に日本語の解説がある。)