Weyl 環の localization をとると ultra filter のようなものを使うのが 不可避であること。

$$A_n \to k \langle \xi,\eta,\xi^{-1}\rangle$$

$$\xi \mapsto \xi^2 ,\qquad \eta\mapsto \frac{1}{2} \xi^{-1} \eta$$

LEMMA 4.3   $f\in A_n(\Z )$ が $f^p \in Z_n(\F _p)$ を(有限個の $p$ を除いて)満たすとき、 $A_n(\Z )_f$ modulo $p$ は

$$(({A_n})_f)(\F _p)=A_n(\F _p) \otimes_{Z_n(\F _p)} Z_n(\F _p)[(f^p)^{-1}]$$

をみたす。ゆえに、その中心は $Z_n(\F _p)[(f^p)^{-1}]$ と同型で、 finitely generated である。

したがって、このような $f$ で localize することが可能になる。

LEMMA 4.4   Let $p$ be a prime. Then in $k\genby {\xi,\eta}/(\eta\xi-\xi\eta-1)$, we have the following identity.

1. $\xi^t\eta^t=(\xi\eta)(\xi\eta-1)(\xi\eta-1)\dots(\xi\eta-(t-1))$
2. $\eta^t \xi^t=(\xi\eta+1)(\xi\eta+2)\dots(\xi\eta+t)$
3. $(\xi\eta)^p-\xi\eta=\xi^p\eta^p$.
4. Let $f(w)=(w-a_1)\dots(w-a_l) \in k[w]$, $a_i\in k$. Then we have
   $$(f(\xi \eta)\eta^s)^p=\left(\prod_i(\xi^p\eta^p-a_i^p +a_i)\right) \eta^{s p}.$$
   for any positive integer $s$ which is relatively prime with $p$.
5. For any polynomial $f,g \in k[w]$, we have
   $$[f(\xi\eta)\eta^t, g(\xi\eta)\xi^t]=F(\xi\eta)-F(\xi\eta-t)$$
   where $F(w)= w(w+1)(w+2)\dots(w-t+1)f(w)g(w+t)$.

すなわち、任意の多項式 $f$, 任意の $s>0$ にたいして、 $f(\xi \eta) \eta^s$ はlocalization でうまく振舞うような元の一つである。 この元は $f(\xi \eta)$ と $\eta$ の積の形をしているが、 ようするに $f(\xi \eta)$ 単独では inverse をとると難しくなるけれども、 $\eta$ が可逆であるようなところに制限してしまえば大丈夫であると いうことだろう。

例えば、

LEMMA 4.5   $(\theta^2-2)\eta$ ( $\theta=\xi\eta$) にたいして、

$$((\theta^2-2)\eta)^p =\xi^{2p}\eta^{3p}-4(1-(\frac{2}{p}))\e... ...p}\eta^{3p}-8\eta^p & (\text{2:平方非剰余のとき}) \end{cases}.$$

( $(\frac{2}{p})$ is the Legendre's symbol).

ultra filter として $2$ が平方剰余なほうを採用すると

$$B=A_n[\xi^{-1},\eta^{-1}]$$

のなかで $(\theta^2-2)$ は「ほとんど可逆」(mod p で可逆)であり、 ultra filter として $2$ が平方剰余でないほうをとると、 $B$ に $(\theta^2-2)$ の逆元を付け加えることは mod p でも 別の元を付け加えることを意味する。 すなわち、ultra filter の取り方によって、inverse を付け加えることの 意味は変わってくる。 algebra としては同じものになるので、この違いは algebra を mod p のものの limit と見る見方の違いである。