線型写像の核

ダジャレ空間の元に対して、ビタミンCと、トータルの重さのみに着目してみよう。

$$\begin{pmatrix} \text{重さ}\\ \text{ビタミンC} \end{pmatrix}= \be... ... & 1 & 1 \\ 10 & 15 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$

右辺のことを

$$\phi \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$$

と書くことにしよう。 いま、重さを $w$ ( $\times 100g$)で、 ビタミンC が $C$ ($\mu$ g) になるようにしたいとするとどうだろう。

幾つかの答えがあることがわかる。 答えが一つに絞られないのは、3種類の野菜で 2つの量 (重さとビタミンC)のみしかコントロールしないわけだから 当然であるともいえる。

とくに、

$$\begin{pmatrix} -2 t\\ t \\ t \end{pmatrix}$$

は $\phi$ で写してやって 0 である。 ビタミンC と重量の点だけから言うと、「ダイコン 200g 」と 「ジャガイモ 100g + レタス 100g 」とは全く等価であるわけだ ⁵。 一般に、幾つかの野菜をとったとして、そのトータルの成分、重量、価格 をコントロールするときに、上のように全然別の組合せが(考えている成分等 のみに関して言えば)等価になることがある。 これが線型写像の核の考え方である。

上の場合で言うと、

$$\operatorname{Ker}(\phi)= \left\{ \begin{pmatrix} -2 t\\ t \\ t \end{pmatrix}; t \in \mbox{${\mathbb{R}}$} \right\}$$

ということになる。