${\mathbb{C}}$ を実ベクトル空間とみる。

複素数 $a+b i$ を $(a,b)$ と対応させてみる。

$$\varphi:{\mathbb{C}}\ni a+bi \mapsto (a,b)\in$$$$\mbox{${\mathbb{R}}$}$$$$^2$$

(この対応は全単射であって、しかも、足し算、引き算、実数倍までもが うまく対応している。つまり $\varphi$ は実ベクトル空間の同型である。 )

$\varphi$ によって、 $1,i$ がそれぞれ基本ベクトル $e_1,e_2$ に対応している ことに注意しよう。

この同型によって $i$ 倍するという操作

$$1 \overset{i\times}\mapsto i$$

$$i \overset{i\times}\mapsto -1$$

は

$$e_1 \mapsto e_2$$

$$e_2 \mapsto -e_1$$

に対応する。($1,i$ のところを $e_1,e_2$ でおきかえただけである。) この線型写像は行列

$$J=(e_2\quad -e_1)= \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$

であらわされるから、結局 「$i$ 倍する」という作用は この行列であらわされることになる。 $J^2=-E$ であることにも注意しておこう。これは直接計算で確かめても良いし、

$$e_1 \overset{J\times}{\mapsto} e_2 \overset{J\times}{\mapsto} -e_1,$$

$$e_2 \overset{J\times}{\mapsto} -e_1 \overset{J\times}{\mapsto} -e_2,$$

という具合にメノコで確かめてもよい。

同様に、複素数 $p+qi$ 倍するという操作は、

$$pE+q J = \begin{pmatrix} p & -q \\ q & p \end{pmatrix}$$

という行列で表現される。 これは複素数を行列で表現する一法である。