判別式

判別式の知識をつかうと, もう少し次数が下げられます. ただし, 本当に計算するのはかなり大変ですから, ここのところは, そんなものか, と読み流して頂ければ結構です.

$f(X)=0$ の根 $\{\alpha_i\}_{i=1}^{16}$ の中から二つ $\alpha_i,\alpha_j$ をとってきてその差 $\alpha_i-\alpha_j$ をつくり, それをすべての組合せについて掛け合わせたもの

$$\Delta=\prod_{i<j}(\alpha_i-\alpha_j)$$

を2乗したもの $\Delta^2$を, $f$ の判別式と呼びます. $\Delta^2$ は根の対称式なので, $\{\alpha\}$ の基本対称式(=$f$ の係数) で書き表すことができます. (5.1 に求め方を書きました. 御参照ください.)

$$\Delta^2=17^{17}$$

今の場合 $f(X)$ の根の一つを $x$ とおくと, あとの根はそのベキ乗で あらわされますから,

$$\prod_{1\leq i<j \leq 16}(x^i-x^j)=\pm 17^8\sqrt{17}$$

となることがわかります. この新しい方程式と, $f(x)=0$ を組み合わせて, $x$ の満たす 方程式の次数を下げていくこと(ユークリッドの互除法) により, 次のような方程式を得ることができます.
$$\begin{align*}&x^8 + x^7 \left(- \frac{\sqrt{17}}{2} + 1/2\right) + x^6 \left(... ...2} + 5/2\right) + x \left(- \frac{\sqrt{17}} {2} + 1/2\right) + 1 \end{align*}$$

これも, 上から読んでも下から読んでも同じ式(自己相反多項式)ですから, 前小節のやり方と同様にして, この多項式の根を求めることは 2次方程式と4次方程式を解くことに 帰着できます. 当時4次方程式の解き方は知られていましたから, これで どうにかこうにか $f(X)=0$ が解けそうです。

ただし, これでは初等的には違いないけれども, 計算は大変です. ガウスはもっとずっと簡単な説明をもっていました.