二項係数の話から

補題 4.2   $p$ は素数であるとする。このとき、

$$p \mid \binom{p}{k}$$    if $$1\leq k \leq p-1$$

[これは Pascal の3角形が $p$ の段で両端を除いて $p$ の倍数ばかりが現れることを 意味している。]

証明.

$$\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\dots (p-k+1)}{k!}$$

は整数であり、分母は $p$ を素因子にもたず、分子は $p$ を素因子に持つ。 ゆえに、(素因数分解の一意性により) $p\mid \binom{p}{k}$. $\qedsymbol$