証明とvariant

$a,b$ のいずれとも可換な変数 $T$ を考え、$(Ta+b)^p$ を $T$ のべきで展開して

$$(Ta+b)^p =T^p a^p+ \sum_{j=1}^{p-1} T^j s_j(a,b) + b^p$$

と書く。 両辺を $T$ について微分すると

$$\sum_{i=0}^{p-1} (Ta+b)^i a (Ta+b)^{p-1-i} = \sum_{j=1}^{p-1} j T^{j-1} s_j(a,b).$$

左作用 $\lambda$, 右作用 $\rho$ を用いて書くと

$$(\sum_{i=0}^{p-1} \lambda(Ta+b)^i \rho(Ta+b)^{p-1-i}).a= \sum_{j=1}^{p-1} j T^{j-1} s_j(a,b).$$

すでに得た(よく知られた公式)系4.3と、$\lambda$,$\rho$ の可換性により、

$$(\lambda(Ta+b)-\rho(Ta+b))^{p-1}.a =\sum_j j T^{j-1} s_j(a,t).$$

すなわち

$$\operatorname{ad}(Ta+b)^{p-1} a = \sum_{j=1}^{p-1} j T^{j-1} s_j(a,t).$$

つまり、

パラメータ付き Jacobson の公式

$$(Ta+b)^p=T^p a^p +b^p+ \int_0^T \operatorname{ad}(ta+b)^{p-1} a dt$$