疑似指数 Q and A

: Q1 実数全体のなす空間が上のベクトル空間になることは分かりますが、

Q1 実数全体のなす空間 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ が $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ 上のベクトル空間になることは分かりますが、そのときの基底が存在するのはなぜですか。
Q2.どのような基底の取り方をすれば、 $\mbox{${\mathbb{R}}$}$ $\mbox{${\mathbb{Q}}$}$ $\oplus W$ と表せ、指数法則も成立するのでしょうか？
Q3.さらに、このＷは非可測な集合になるのでしょうか？
付録
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2002年10月9日